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Pour chaque système cristallin, le groupe ponctuel de symétrie maximale est appelé «holoédrie». Il s'agit par exemple du groupe 2/ m dans le système monoclinique. Un sous-groupe d'une holoédrie contient moins d'éléments que celle-ci et est appelé pour cette raison «mériédrie».

La relation entre un groupe G et un de ses sous-groupes H est caractérisée par l'«index» [i] du sous-groupe H dans G , noté entre crochets. L'index de H dans G est le nombre de classes de G lors de sa décomposition en classes par rapport à son sous-groupe H . Il existe deux possibilités pour décomposer un groupe en classes:

La valeur de l'index [i] de H dans G est la même dans les deux cas.

La décomposition en classes s'effectue de la façon suivante:

Les classes de G possèdent les propriétés suivantes:

Le théorème de Lagrange permet de déterminer rapidement l'index [i] d'un sous-groupe H dans le groupe G .

L'index est toujours un nombre entier et peut être infini. Dans l'exemple précédent du groupe 422, ses sous-groupes propres 4 et 222 ont un index de [2] et le sous-groupe 2 a un index de [4] dans 422. La décomposition du groupe 422 en classes à droite et à gauche par rapport à son sous-groupe 2 [100] , généré par la rotation d'ordre 2 d'axe [100], est donnée ci-dessous.

Les classes à droite et à gauche sont ici différentes car elles ne contiennent pas toutes les mêmes éléments. Si G est un groupe abélien, ses classes à gauche sont identiques à ses classes à droite, quel que soit le sous-groupe utilisé pour la décomposition.

Le concept de «classe cristalline» permet de regrouper les groupes d'espace qui possèdent des propriétés de symétrie similaires. Les groupes d'espace seront vus dans un chapitre dédié; l'introduction des classes cristallines est faite ici pour une description complète des groupes ponctuels de symétrie dans les sections suivantes.

On distingue deux types de classes cristallines:

Chaque classe cristalline géométrique possède deux désignations, selon la nomenclature utilisée:

La nomenclature de Friedel est indiquée dans les listes des groupes ponctuels de symétrie ci-dessous. Celle de Groth sera vue dans le chapitre sur la morphologie des cristaux .

Relations de groupe/sous-groupe maximum.

L'holoédrie du système monoclinique est le groupe cyclique 2, d'ordre 2 et généré par la rotation d'ordre 2. Sa seule hémiédrie est le groupe de l'identité 1, d'ordre 1.

L'holoédrie du système orthorhombique est 2 mm , contenant deux réflexions dont les droites miroir sont orthogonales entre elles et s'intersectent au centre de rotation. Ce groupe est abélien et non cyclique, son ordre est 4. Sa seule hémiédrie dans le système orthorhombique est le groupe cyclique m , d'ordre 2 et généré par une seule réflexion.

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